El Quinto Teorema De Leonardo:
Existen Cincos y Solo Cincos Poliedros Regulares
Estrellados.
Los cincos poliedros regulares cóncavos estrellados
los cuales están representados por el Conjunto E:
E= {(6, 3) + (3, 3),(6, 3) + (4, 3),(6, 3) + (5,
3),(8, 3) + (3, 3),(10, 3) + (3, 3)}
Tesis:
- Demostrar que el conjunto E está compuesto por
los únicos poliedros regulares cóncavos estrellados que existen.
Como los poliedros regulares convexo son los que
generan los poliedros regulares cóncavos, utilizaremos la formula
de
Euler despejando el valor de la arista.
- A = 2mn / 2m + 2n – mn = 1/m +1/n – 1/2 = 1/A.
Es le formula de Euler despejando el valor de la arista
- (n =3) Como los poliedros regulares cóncavos
estrellados están todos compuestos por caras poliédricas que son
triángulos equiláteros entonces siempre n = 3.
- (2m, n) + (m, n). Como los
poliedros estrellados poseen dos clases de vértices, donde la cantidad de
arista del vértice cóncavo intermedio (2m, n), de
un poliedro regular estrellado, es el doble de la cantidad de
aristas del vértice convexo exterior (m, n), de un poliedro regular
estrellado.
(2m, n)+(m, n) es designado con el nombre de
bis-par poliédrico en el cual (2m, n) es el primer miembro del bis-par
poliédrico y (m, n) es el segundo miembro del bis-par poliédrico.
- +A=+2A, por cada arista intermedia en un
poliedro estrellado existen dos arista estrelladas, se cumple en (2m, n).
- +4mn / 2m + 2n – mn. si en la formula
+A=+2A Sustituimos en (1) el valor de la arista intermedia y
efectuamos la operación +A=+2 (2mn / 2m + 2n – mn) tenemos +A= +4mn
/ 2m +2n - mn, por ley transitiva de la igualdad es válida para (2m, n)
- +V= 2(+A/j), porque la cantidad de vértices
exteriores es directamente proporcional al producto del doble de sus
aristas e inversamente proporcional al producto del doble de las aristas
que convergen en el vértice cóncavo intermedio.
.
- + C = + A porque la cantidad de caras
exteriores de un poliedro estrellado es directamente proporcionar a la
cantidad de aristas exteriores del poliedro estrellado, los poliedros
estrellados tienen sus leyes diferentes a los poliedros convexo, por lo
tanto en (2m, n). (+C) + (+V) – (+A) = +V, como el tetraedro tiene 4
vértices y es el poliedro de menor número de vértice entonces la nueva
ley que siempre se cumple (+C) + (+V) – (A) ≥ 4
- C= 2 A / n, se cumple en (m, n)
- V= 2A / m, se cumple en (2m, n) y en (m,
n).
- +V= 2(+A/m),
- Símbolos de la variables: A=aristas
intermedia, V = Vértices, +A =Aristas exteriores, +C = caras exteriores,
C= caras intermedias, n=numero de lados del polígono regular, m =numero de
aristas que tiene un vértice, s = variable que indica la suma de los
ángulos, que poseen los polígonos regulares comunes a un vértice, j
= es el doble de las aristas que convergen en el vértice cóncavo
intermedio. La variable J= el duplo de m y J ≥ 3, R= representa el grado
de regularidad o irregularidad del poliedro seleccionado. Cuando el
poliedro es irregular el grado se marca con una I, cuando el
poliedro es regular el grado de regularidad no se marca.
En la primera etapa: utilizaremos el par
poliédrico (2m, n) y estableceremos los números que satisfacen la
ecuación +A = +4mn / 2m + 2n – mn. Teniendo en cuenta que para el par
poliédrico cóncavo (2m, n), 360 ≤ s ≤ 720, que la suma de los ángulos del
conjunto de polígono comunes a un vértices es mayor o igual a cuatro ángulos
rectos y menor que ocho ángulo recto.
Segunda etapa: utilizaremos el par poliédrico
(m, n) y establecer los números que satisfacen la ecuación A = 2mn / 2m +
2n – mn. Teniendo en cuenta que para el par poliédrico convexo (m, n),
360° ˃ s ≥ 180, que la suma de los ángulos del conjunto de polígono comunes a
unos vértices es menor que cuatro ángulos recto.
Primera etapa Trabajando con el par poliédrico (2m,
n).
- Siendo m = 3, n =3 sustituyendo en +A = +4mn /
2m + 2n – mn=+4 (3) (3) / 2 (3) + 2 (3) -3 (3) = +36/3 entonces +A = +12
este es el primer par poliédrico cóncavo intermedio: Sustituyendo m = 3, n
= 3, en (2m, n) = (2(3), (3)) = (6, 3) satisface la ecuación.
- Siendo m =4 , n =3 sustituyendo en +A = +4mn /
2m + 2n – mn=+4 (4) (3) / 2 (4) + 2 (3) -4 (3) = +48/2 entonces +A = +24
este es el segundo par poliédrico cóncavo intermedio: Sustituyendo m = 4,
n = 3, en (2m, n) = (2(4), (3)) = (8, 3) satisface la ecuación.
- Siendo m = 5, n =3 sustituyendo en +A = +4mn /
2m + 2n – mn=+4 (5) (3) / 2 (5) + 2 (3) -5 (3) = +60/1 entonces +A = +60
este es el tercer par poliédrico cóncavo intermedio: Sustituyendo m = 5, n
= 3, en (2m, n) = (2(5), (3)) = (10, 3) satisface la inecuación.
- Siendo m = 6, n =3 sustituyendo en +A = +4mn /
2m + 2n – mn=+4 (6) (3) / 2 (6) + 2 (3) -6 (3) = 72 / 0 = ∞ entonces +A =
+∞ no satisface la ecuación.
Segunda etapa trabajando
con (m, n)
- Siendo m = 3, n =3 sustituyendo en A = 2mn /
2m + 2n – mn = 2(3) (3) / 2 (3) + 2 (3) -3 (3) = 18/3 entonces A = 6. Este
es el primer par poliédrico convexo exterior, sustituyendo m = 3, n = 3,
en (m, n) = (3, 3) satisface la ecuación.
- Siendo m = 4, n =3 sustituyendo en A = 2mn /
2m + 2n – mn = 2(4) (3) / 2 (4) + 2 (3) - 4 (3) = 24/2 entonces A = 12.
Este es el segundo par poliédrico convexo exterior, sustituyendo m =
4, n = 3, en (m, n) = (4, 3) satisface la ecuación.
- Siendo m = 5, n =3 sustituyendo en A = 2mn /
2m + 2n – mn = 2(5) (3) / 2 (5) + 2 (3) -5 (3) = 30/3 entonces A = 30 este
es el tercer par poliédrico convexo exterior: sustituyendo m = 5, n = 3,
en (m, n) = (5, 3) satisface la ecuación.
- Siendo m = 6, n =3 sustituyendo en A = 2mn /
2m + 2n – mn = 2 (6) (3) / 2 (6) + 2 (3) -6 (3) = 36 / 0 = ∞ entonces A =
+∞ no satisface la ecuación
Entonces con (2m, n) tenemos un
conjunto de tres pares poliédricos al cual llamaremos conjunto X = {(6, 3), (8,
3), (10, 3)}.
Con (m, n) tenemos otro conjunto de
tres pares poliédricos, al cual llamaremos conjunto Y = {(3,3), (4,3), (5,3)}.
Si combinamos los elementos de ambos
conjuntos poliédricos tendremos nueve combinaciones diferentes de pares
poliédricos, las cuales formaran el conjunto K.
K = {(6, 3) + (3, 3), (6, 3) + (4, 3), (6, 3) + (5, 3), (8, 3) + (3, 3), (8, 3) + (4, 3), (8, 3) + (5, 3), (10, 3) + (3, 3), (10, 3) + V (4, 3), (10, 3) + (5, 3)}.
K = {(6, 3) + (3, 3), (6, 3) + (4, 3), (6, 3) + (5, 3), (8, 3) + (3, 3), (8, 3) + (4, 3), (8, 3) + (5, 3), (10, 3) + (3, 3), (10, 3) + V (4, 3), (10, 3) + (5, 3)}.
Como todas las caras de las estelaciones son
triángulos equiláteros, para elegir correctamente entre las nueve
combinaciones anteriores que están representadas en el conjunto K, utilizaremos
el primer miembro del bis-par poliédrico (2m, n) + (m, n), en el
que m = 3, n = 3, sustituyendo en (2m, n) = (6, 3), esto indica que
de las nueve combinaciones, son elegibles todas las combinaciones que comiences
con (6, 3), y obtenemos como resultado el conjunto G = {(6, 3) +
(3, 3), (6, 3) + (4, 3), (6, 3) + (5, 3)}, tres
elementos.
Siendo n = 3, para elegir correctamente entre
las nueve combinaciones anteriores que están representadas en el conjunto
K, utilizaremos el segundo miembro del bis-par poliédrico (2m, n) + (m, n),
donde (m, n) = (3, 3), esto indica que de las nueve combinaciones, todas las
combinaciones que terminen con (3, 3), son las elegibles, cuyo resultado es
el conjunto O ={(6, 3) + (3, 3), (8, 3) + (3, 3),
(10, 3) + (3, 3)}, tres elementos.
Definiendo las aristas que corresponden al conjunto
G, siendo el bis-par poliédrico (2m, n) + (m, n). Para el primer miembro del
bis-par poliédrico que corresponde a los elementos del conjunto G, utilizamos
la formula +A= +4mn / 2m + 2n – mn. Para el segundo miembro del bis-par
poliédrico que corresponde a los elementos del conjunto G, utilizamos la
formula A= 2mn / 2m + 2n –mn. Los valores de (m) están definidos en el segundo
miembro que corresponde al bis-par poliédrico, de los elementos del conjunto G.
Elementos del conjunto G = {(6, 3) + (3, 3),
(6, 3) + (4, 3), (6, 3) + (5, 3)}.
- (6, 3) + (3, 3), entonces m =3, n =3:
+A= +4mn / 2m + 2n – mn de fine las arista de (6,
3) sustituyendo, +A = +4 (3) (3) / 2 (3) + 2(3) – (3) = +36 /3 =
+12, el par poliédrico (6, 3) tiene +A =+12.
A= 2mn / 2m + 2n – mn de fine las arista de (3, 3)
sustituyendo.
A = 2 (3) (3) / 2 (3) + 2 (3) – 3 (3) = 18 /
3 = 6, el par poliédrico (3, 3) tiene +A = 6
(+A = +12, (6, 3) + (3, 3), A =6) este es el
primer elemento del conjunto G.
- (6, 3) + (4, 3), entonces m = 4, n =3:
+A = +4mn / 2m + 2n – mn de fine las arista de
(6,3) sustituyendo.
+A= +4(4) (3) / 2 (4) + 2(3) – 4 (3) = + 48 / 2 =
+24, el par poliédrico (6, 3) tiene +A = +24
A= 2mn / 2m + 2n – mn de fine las arista de (4, 3)
sustituyendo.
A= 2(4) (3) / 2 (4) + 2(3) – (3) = 24/2 =12,
el par poliédrico (4, 3) tiene A =12
(+A = +24, (6, 3) + (4, 3), A =12). Este es
el segundo elemento del conjunto G.
- (6, 3) + (5, 3), entonces m =3 , n =3:
+A= +4mn / 2m + 2n – mn de fine las arista de (6,
3) sustituyendo.
+A= +4(5) (3) / 2 (5) + 2(3) – 5 (3) = +60 / 1 =
+60, el par poliédrico (6, 3) tiene +A =+60.
A= 2mn / 2m + 2n – mn de fine las arista de (5, 3)
sustituyendo.
A = 2 (5) (3) / 2 (5) + 2 (3) – 5 (3) = 30 / 1 =
30, el par poliédrico (5, 3) tiene A = 30.
(+A = +60, (6, 3) + (5, 3), A =30) este es el
tercer elemento del conjunto G.
Entonces el conjunto G= {(+A = 12, (6,
3) + (3, 3), A= 6), (+A = +24, (6, 3) + (4, 3), A=12), (+A = +60, (6, 3) + (5,
3), A=30)}.
Definiendo las aristas Que corresponden al conjunto
O, siendo el bis-par poliédrico (2m, n) + (m, n). Para el primer miembro del
bis-par poliédrico que corresponde a los elementos del conjunto O utilizamos la
formula +A= +4mn / 2m + 2n – mn. Para el segundo miembro del bis-par
poliédrico que corresponde a los elementos del conjunto O, utilizamos la
formula A= 2mn / 2m + 2n –mn. Los valores de (m) están definidos en el Primer
miembro que corresponde al bis-par poliédrico, de los elementos del conjunto O.
En (2m, n) entonces m = j /2, j=2m 2= j /m, por lo tanto:
(2m, n) = (j, n).
Elementos del conjunto O = {(6, 3) +
(3, 3), (8, 3) + (3, 3), (10, 3) + (3, 3)}
- (6, 3) + (3, 3), entonces j = 6 , m =
j/2 = 3, m =3 n =3:
+A= +4mn / 2m + 2n – mn de fine las arista de (6,
3) sustituyendo.
+A= +4(3) (3) / 2 (3) + 2(3) – 3(3) = +36 / 3 =
+12, el par poliédrico (6, 3) tiene +A =+12.
A= 2mn / 2m + 2n – mn de fine las arista de (3, 3)
sustituyendo.
A= 2(3) (3) / 2 (3) + 2(3) – 3(3) = 18 / 3 = 6, el
par poliédrico (3, 3) tiene A =6.
(+A = +12, (6, 3) + (3, 3), A = 6) este es el
primer elemento del conjunto O.
- (8, 3) + (3, 3), entonces j = 8 , m =
j/2 = 4, m =4, n =3::
+A= +4mn / 2m + 2n – mn de fine las arista de (8,
3) sustituyendo.
+A= +4(4) (3) / 2 (4) + 2(3) – 4(3) = +48 / 2 = +24,
el par poliédrico (8, 3) tiene +A =+24.
A= 2mn / 2m + 2n – mn de fine las arista de (3, 3)
sustituyendo.
A= 2(4) (3) / 2 (4) + 2(3) – 4 (3) = 24 / 2 =12, el
par poliédrico (3, 3) tiene A = 12.
(+A =+24, (8, 3) + (3, 3), A =12), este es el
segundo elemento del conjunto O.
- (10, 3) + (3, 3), entonces j = 10 , m =
j/2 = 5, m =5, n =3:
+A= +4mn / 2m + 2n – mn de fine las arista de (8,
3) sustituyendo.
+A= +4(5) (3) / 2 (5) + 2(3) – 5 (3) = +60 / 1
=+60, el par poliédrico (8, 3) tiene +A =+60.
A= 2mn / 2m + 2n – mn de fine las arista de (3, 3)
sustituyendo.
A= 2(5) (3) / 2 (5) + 2(3) – 5 (3) = 30 / 1 = 30,
el par poliédrico (3, 3) tiene A = 30
(+A = +60, (10, 3) + (3, 3), A =30), este es el
tercer elemento del conjunto O.
Entonces el conjunto O = {(+A = +12,
(6, 3) + (3, 3), A =6), (+A =+24, (8, 3) + (3, 3), A =12), (+A =
+60, (10, 3) + (3, 3), A =30)}
Si unimos ambos conjuntos G
O = E tenemos la cantidad de cincos
elemento, debido a que el conjunto G y el conjunto O posen el elemento
(+A = +12, (6, 3) + (3, 3), A =6) en común.
El conjunto E={(+A =+ 12,
(6, 3) + (3, 3), A=6), (+A = +24, (6, 3) + (4, 3), A=12), (+A = +60, (6, 3) +
(5, 3), A=30) (+A =+24, (8, 3) + (3, 3), A =12), (+A = +60, (10, 3) + (3,
3), A =30)}
Con esto datos que poseen los elementos del
conjunto E y
Con esto datos que poseen los elementos
del conjunto E y utilizando la formula de vértice V=2A / m, la formula de
caras C=2A /n, la formula +C = +A.
Utilizando (6), (7), (8) y (9) vamos a determinar
con exactitud cuáles son los cincos poliedros regulares cóncavos estrellados.
1- Tomando el primer elemento del conjunto E y
aplicando formula. (+A = +12, (6, 3) + (3, 3), A=6).
V=2A / m, C=2A /n,+C = +A,+V= 2(+A/j),
Tomando el primer miembro de bis-par poliédrico.
+A = +12, (6, 3), j =6+C =+12, +V=2(+12/6), +V=+4
Tomando el segundo miembro de bis-par poliédrico.
(3, 3), A=6, m = 3, C=2(6/3), C=4, V=2(6/3), V=4
En las estelaciones estrelladas el conjunto de
caras intermedias desaparecen, debido a que quedan sepultadas debajo de las
caras exteriores del poliedro estrellado.
Esto indica que el primer bis-par poliédrico posee
6 aristas intermedia, 12 aristas exteriores, para un total de 18 aristas.
Además posee 4(6, 3) vértices cóncavo intermedios y 4(3, 3) vértices
exteriores, para un total de 8 vértices. Este poliedro regular cóncavo
estrellado posee 12 caras triangulares equiláteras uniformes entre sí, las
cuales son de categoría exteriores. Además se cumple la formula de Euler:
C + V – A = 2, sustituyendo 12 + 8 -18 =2
Estos resultados
demuestran, que el poliedro que posee todas estas características es el
Tetraedro Estrellado Davinciano, por lo tanto concluimos que el primer poliedro
regular cóncavo estrellado, es el Tetraedro Estrellado Davinciano.
2- Tomando el segundo elemento del conjunto E y
aplicando formula. (+A = +24, (6, 3) + (4, 3), A=12).
V=2A / m,C=2A /n,+C = +A,+V= 2(+A/j).
Tomando el primer miembro de bis-par poliédrico.
+A = +24, (6, 3), j =6+C =+24, +V=2(+24/6), +V=+8.
Tomando el segundo miembro de bis-par poliédrico.
(4, 3), A=12, m = 4,n =3, C=2(12/3), C=8,
V=2(12/4), V=6.
Esto indica que el segundo bis-par poliédrico,
posee 12 aristas intermedia, 24 aristas exteriores, para un total de 36
aristas. Además posee 8(6, 3) vértices cóncavo intermedios y 6(4, 3) vértices
exteriores, para un total de 14 vértices. Este poliedro regular cóncavo
estrellado posee 24 caras triangulares equiláteras uniformes entre sí, las
cuales son de categoría exteriores. Además se cumple la formula de Euler:
C + V – A = 2, sustituyendo 24 + 14 - 36 =2
Estos resultados
demuestran, que el poliedro que posee todas estas características es el
Hexaedro Estrellado Davinciano, por lo tanto concluimos que el segundo poliedro
regular cóncavo estrellado, es el Hexaedro Estrellado Davinciano.
3- Tomando el tercer elemento del conjunto E y
aplicando formula. (+A = +60, (6, 3) + (5, 3), A=30),
V=2A / m,C=2A /n,+C = +A,+V= 2(+A/j).
Tomando el primer miembro de bis-par poliédrico.
+A = +60, (6, 3), j =6+C =+60, +V=2(+60/6), +V=+20
Tomando el segundo miembro de bis-par poliédrico.
(5, 3), A=30, m = 5,n =3, C=2(30/3), C=20,
V=2(30/5), V=12.
Esto indica que el tercer bis-par poliédrico posee
30 aristas intermedia, 60 aristas exteriores, para un total de 90 aristas.
Además posee 20(6, 3) vértices cóncavo intermedios y 12(5, 3) vértices
exteriores, para un total de 32 vértices. Este poliedro regular cóncavo
estrellado posee 60 caras triangulares equiláteras uniformes entre sí, las
cuales son de categoría exteriores. Además se cumple la formula de Euler:
C + V – A = 2, sustituyendo 60 + 32 -90 =2
Estos resultados
demuestran, que el poliedro que posee todas estas características es el
Dodecaedro Estrellado Davinciano, por lo tanto concluimos que el tercer
poliedro regular cóncavo estrellado, es el Dodecaedro Estrellado Davinciano.
4- Tomando el cuarto elemento del conjunto E y
aplicando formula. (+A =+24, (8, 3) + (3, 3), A =12),
V=2A / m,C=2A /n,+C = +A,+V= 2(+A/j).
Tomando el primer miembro de bis-par poliédrico.
+A =+24, (8, 3), j =8, +C =+24, +V=2(+24/8), +V=+6
Tomando el segundo miembro de bis-par poliédrico.
(3, 3), A =12, m =3, n =3, C=2(12/3), C=8,
V=2(12/3), V=8
Esto indica que el cuarto bis-par poliédrico posee
12 aristas intermedia, 24 aristas exteriores, para un total de 38 aristas.
Además posee 6 (6, 3) vértices cóncavo intermedios y 8 (3, 3) vértices
exteriores, para un total de 14 vértices. Este poliedro regular cóncavo
estrellado posee 24 caras triangulares equiláteras uniformes entre sí, las
cuales son de categoría exteriores. Además se cumple la formula de Euler:
C + V – A = 2, sustituyendo 24 + 14 - 36 =2
Estos resultados
demuestran, que el poliedro que posee todas estas características esla Estrella
Octángula de Kepler, por lo tanto concluimos que el cuarto poliedro regular
cóncavo estrellado, es la Estrella Octángula de Kepler.
5- Tomando el quinto elemento del conjunto E y
aplicando formula. (+A = +60, (10, 3) + (3, 3), A =30)
V=2A / m,C=2A /n,+C = +A,+V= 2(+A/j).
Tomando el primer miembro de bis-par poliédrico.
+A = +60, (10, 3), j =10, +C =+60, +V=2(+60/10),
+V=+12
Tomando el segundo miembro de bis-par poliédrico.
(3, 3), A =30, m =3, n =3, C=2(30/3), C=20,
V=2(30/3), V=20.
Esto indica que el quinto bis-par poliédrico posee
30 aristas intermedia, 60 aristas exteriores, para un total de 90 aristas.
Además posee 12 (10, 3) vértices cóncavo intermedios, y 20 (3, 3) vértices
exteriores, para un total de 32 vértices. Este poliedro regular cóncavo
estrellado posee 60 caras triangulares equiláteras uniformes entre sí, las
cuales son de categoría exteriores. Además se cumple la formula de Euler:
C + V – A = 2, sustituyendo 60 + 32 - 90 =2.
Estos resultados
demuestran, que el poliedro que posee todas estas características es el
IcosaedroEstrellado Davinciano, por lo tanto concluimos que el tercer poliedro
regular cóncavo estrellado, es el Icosaedro Estrellado Davinciano.
Conclusión.
Los poliedros regulares cóncavos estrellados son
generados por los poliedros regulares convexos, debido que en cada
bis-par poliédrico existe un poliedro regular que es el que genera los datos
para determinar el poliedro regular cóncavo estrellado.
Todos los elementos del conjunto E, representan un
poliedro regular cóncavo estrellado.
En la humanidad no ha habido, ni habrán otros
poliedro regulares cóncavos estrellado, que no sean estos cincos poliedros los
cuales forman el conjunto E = {(6, 3) + (5, 3) (6, 3) + (4, 3), (6, 3) + (3, 3), (8, 3) + (3, 3), (10, 3) + (3, 3)}
L.q.q.d
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